3
Mục lục
Lời cam đoan 1
Lời cảm ơn 2
Mục lục 3
Danh mục các ký hiệu5
Mở đầu
.
6
Chơng 1
:
Đặc trng của miền trong
C
n
bởi nhóm tự đẳng cấu
không compact.17
1.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ 18
1.2 Ước lợng metric Kobayashi 25
1.2.1 Hệ tọa độ đặc biệt và các đa đĩa25
1.2.2 Co giãn các tọa độ.34
1.2.3 Ước lợng metric Kobayashi41
1.2.4 Tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ chỉnh hình 44
1.3 Sự tồn tại mô hình thuần nhất của miền trong C
n
46
Chơng
2
:
Đặc trng của miền lồi tuyến tính trong
C
n
bởi
nhóm tự đẳng cấu không compact 59
2.1 Hệ tọa độ và đa đĩa của M. Conrad 60
4
2.2 Scaling miền
U
66
2.3 Tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ scaling 69
Chơng 3
:
Giả thuyết Greene-Krantz
74
3.1 Một số kết quả xung quanh giả thuyết Greene-Krantz 74
3.2 Sự tồn tại điểm tụ quỹ đạo parabolic. 77
Kết luận Và kiến nghị
79
Danh mục Các công trình của tác giả Liên quan đến
luận án 91
tài liệu tham khảo
92
5
DANH MC CC Kí HIU
Aut(): nhúm t ng cu ca min .
C
k
(): khụng gian cỏc hm kh vi liờn tc n cp k trờn .
H(, ) (hoc Hol(, )): tp cỏc ỏnh x chnh hỡnh t vo .
P
2m
: khụng gian tt c cỏc a thc giỏ tr thc xỏc nh trờn C vi
bc 2m v khụng cha bt kỡ hng t iu hũa.
H
2m
: khụng gian tt c cỏc a thc, giỏ tr thc, thun nht, iu
hũa di trờn C vi bc 2m.
M
Q
= {z C
n
: Re z
n
+ Q(z
1
) + |z
2
|
2
+ ããã + |z
n1
|
2
< 0} vi
Q P
2m
.
1
2
vi ngha:
1
v
2
l song chnh hỡnh.
a b cú ngha l tn ti hng s C > 0, c lp vi cỏc tham s
(thng l q v tham s thc ) sao cho a Cb.
a b cú ngha l tn ti hng s C
1
, C
2
> 0, c lp vi cỏc tham
s (thng l q v tham s thc ) sao cho C
1
b a C
2
b.
(, p): kiu ca biờn ti im biờn p .
T
C
p
(M): khụng gian tip xỳc phc ca a tp phc M ti p.
r
= D
r
= {z C : |z| < r}.
K
: gi metric Royden-Kobayashi trờn min .
M U
1. Lý do chn ti
Gi s M l mt a tp phc. Nhúm t ng cu ca M (ký hiu bi
Aut(M)) l tp hp cỏc song chnh hỡnh ca M vi phộp toỏn hai ngụi
l hp thnh ca hai t ng cu. Tụpụ trờn Aut(M) l tụpụ hi t u
trờn cỏc tp con compact (tc l tụpụ compact-m).
Theo quan im ca F. Klein, hỡnh hc ca mi mt lp i tng l
hỡnh hc ca nhúm bin i. Chng hn Hỡnh hc Euclid l hỡnh hc
ca nhúm cỏc phộp bin i ng c, Hỡnh hc Affine l hỡnh hc ca
nhúm bin i Affine. Vỡ th, hỡnh hc ca cỏc a tp phc cng cú th
xem nh hỡnh hc ca nhúm cỏc t ng cu ca a tp phc. Cú hai
bi toỏn c bn khi nghiờn cu hỡnh hc ca cỏc a tp phc:
Bi toỏn 1. Tỡm cỏc tớnh cht hỡnh hc bt bin qua nhúm cỏc t ng
cu.
Bi toỏn 2. Phõn loi cỏc a tp phc da trờn nhúm cỏc t ng cu
ca chỳng.
Lun ỏn tp trung nghiờn cu Bi toỏn 2. C th hn, chỳng tụi nghiờn
cu mi quan h gia hỡnh hc ca min trong C
n
v cu trỳc ca nhúm
6
7
t ng cu ca nú, tc l xột xem min c xỏc nh bi nhúm t
ng cu n mc no.
Nu l mt min b chn trong C
n
thỡ Aut() l mt nhúm Lie
thc. Tng quỏt hn, S. Kobayashi [25] ó chng minh rng: nu l
hyperbolic thỡ chiu ca nhúm Lie thc Aut() khụng vt quỏ n
2
+ 2n.
Hn na, nu nhúm ny cú chiu dng thc s thỡ nú khụng th l
nhúm Lie phc. Mt cõu hi hon ton t nhiờn c t ra l: nhúm
Lie thc no cú th xem nh nhúm t ng cu ca mt a tp phc?
Nm 2004 J. Winkelmann [38] ó ch ra rng cho trc mt nhúm Lie
thc compact K thỡ luụn luụn tn ti min b chn gi li cht C
n
sao cho Aut() ng cu vi K. Nh vy, bi toỏn phõn loi cỏc min
vi nhúm t ng cu compact ó c gii quyt khỏ trn vn.
i vi trng hp nhúm t ng cu khụng compact, cỏc nh toỏn
hc ó phõn loi thnh cụng cỏc min b chn trong C
n
. Cũn i vi
trng hp min khụng b chn trong C
n
, bi toỏn phõn loi mi ch
c gii quyt trong mt s trng hp c bit.
Tip tc lung nghiờn cu trờn, chỳng tụi chn ti lun ỏn l: "a
tp phc vi nhúm cỏc t ng cu khụng compact".
2. Mc ớch nghiờn cu
Mc ớch ca lun ỏn l nghiờn cu bi toỏn phõn loi cỏc min khụng
b chn trong C
n
vi nhúm t ng cu khụng compact. Ngoi ra, lun
ỏn cũn nghiờn cu tớnh cht hỡnh hc a phng ca im biờn t qu
o.
8
3. i tng v phm vi nghiờn cu
Nh ó trỡnh by phn lý do chn ti, i tng nghiờn cu ca
lun ỏn l cỏc a tp phc, c th l cỏc min trong C
n
. Trong lun ỏn,
t tng chớnh xuyờn sut l xột xem vi iu kin no ca min thỡ t
tớnh cht a phng suy ra tớnh cht ton cc. iu ú cho phộp chỳng
tụi phõn loi c mt s lp min khụng b chn trong C
n
nh tớnh
khụng compact ca nhúm t ng cu ca nú.
4. Phng phỏp nghiờn cu
gii quyt nhng vn t ra trong lun ỏn, chỳng tụi s dng
cỏc phng phỏp nghiờn cu v k thut truyn thng ca Hỡnh hc
phc, Gii tớch phc, c bit l k thut scaling ca S. Pinchuk, ng
thi chỳng tụi cng sỏng to ra nhng k thut mi.
5. Cỏc kt qu t c v ý ngha ca ti
Lun ỏn gm ba chng.
Chng I trỡnh by v c trng ca min trong C
n
bi nhúm t ng
cu khụng compact.
Trc ht, ta nhc li mt kt qu c in ca H. Cartan: nu l
mt min b chn trong C
n
v nhúm t ng cu Aut() khụng compact
thỡ tn ti cỏc im x , p
v dóy cỏc t ng cu
j
Aut()
sao cho lim
j
(x) = p
. Trong trng hp ny, ta gi im biờn p
l
im biờn t qu o.
Cỏc cụng trỡnh trong hn 20 nm qua ó ch ra rng tớnh cht hỡnh
hc a phng ca im biờn t qu o cho ta thụng tin ton cc v
9
min. Chng hn, B. Wong v J. P. Rosay [39], [42] ó chng minh nh
lý c trng cho hỡnh cu n v trong C
n
.
nh lý 1 (Wong-Rosay). Min bt kỡ C
n
cú biờn trn lp C
2
,
gi li cht v cú nhúm t ng cu khụng compact u song chnh hỡnh
vi hỡnh cu n v trong C
n
.
Bõy gi ta nhc li khỏi nim kiu hu hn theo ngha J. P. DAngelo.
Gi s C
n
l mt min vi biờn nhn v cho im biờn p . Khi
ú, kiu (, p) ca ti p c nh ngha bi
(, p) = sup
F
( F )
(F )
,
trong ú l mt hm xỏc nh biờn ca min trong lõn cn ca p,
supremum c ly trờn tt c cỏc ỏnh x chnh hỡnh F xỏc nh trong
mt lõn cn ca 0 C vo C
n
sao cho F (0) = p v (F ) l cp trit tiờu
ca hm F ti gc ta trong C. Biờn c gi l cú kiu hu hn
ti p nu (, p) < . Min c gi l min cú kiu hu hn nu
cú kiu hu hn ti mi im biờn. Chng hn biờn ca Ellipsoid
E
m
= {(z, w) : |z
2
| + |w|
2m
< 1}, m N
cú kiu 2m ti im biờn
(1, 0).
Bng cỏch s dng k thut scaling ca S. Pinchuk, nm 1991 E.
Bedford v S. Pinchuk [4] ó chng minh nh lý sau õy v c trng
cho cỏc ellipsoid phc.
nh lý 2 (Bedford-Pinchuk). Gi s C
n
l mt min b chn
vi biờn nhn, gi li v cú kiu hu hn. Gi s rng hng ca dng Levi
ớt nht bng n 2 ti mi im biờn ca min . Khi ú, nu Aut()
10
l khụng compact thỡ song chnh hỡnh vi min
E
m
= {(z
1
,ããã , z
n
) C
n
: |z
1
|
2
+ |z
2
|
2m
+ |z
3
|
2
+ ããã + |z
n
|
2
< 1},
vi s nguyờn m 1 no ú.
Cỏch tip cn ca Bedford-Pinchuk c chia thnh hai bc. Trong
bc u h s dng k thut scaling ch ra rng min song chnh
hỡnh vi min D cho bi
D = {z = (z
1
, z
) C
n
: Re z
1
+ Q(z
, z
) < 0},
trong ú Q l mt a thc. Trờn min D tn ti trng vộct chnh hỡnh
khụng tm thng. bc th hai, trng vộct ny c kộo lựi v
min . Sau ú, h phõn tớch trng vộct ny ti im parabolic c
nh kt lun rng min song chnh hỡnh vi Ellipsoid E
m
.
Lch s phỏt trin ca vic nghiờn cu nhúm t ng cu ca cỏc a
tp phc cú th chia thnh hai giai on. Giai on u: t cui th k
19 cho n cui thp niờn 70 ca th k trc bi cỏc cụng trỡnh ca H.
Poincarộ, H. Cartan, S. Kobayashi, Kt qu ch yu trong giai on
ny l ó ch ra nhng tớnh cht tụpụ quan trng ca nhúm cỏc t ng
cu ca a tp phc. Giai on th hai hỡnh thnh v phỏt trin t thp
niờn 80 ca th k trc m u bi cỏc cụng trỡnh ca E. Bedford v S.
Pinchuk. Sau ny, phng phỏp ca E. Bedford v S. Pinchuk c m
rng v phỏt trin bi cỏc nh toỏn hc nh: S. Krantz, A. Kodama, F.
Berteloot, K. T. Kim, H. Gaussier Phng phỏp c s dng ch yu
l phng phỏp scaling ca Pinchuk. Thnh cụng chớnh ca giai on
ny l cỏc tỏc gi ó phõn loi c cỏc min b chn kiu hu hn trong
11
C
n
.
Tuy nhiờn, nhiu k thut ca E. Bedford v S. Pinchuk khụng ỏp
dng c cho cỏc min khụng b chn. Vỡ th, bi toỏn i vi cỏc min
khụng b chn ũi hi phi cú cỏch tip cn khỏc. Trong khong 20 nm
qua, nhiu nh toỏn hc ó c gng a ra nhng cỏch tip cn mi v
vỡ vy vn ó c gii quyt trong mt s trng hp riờng. Chng
hn, trong C
2
, nm 1994 F. Berteloot [8] ó m rng c nh lý 2 cho
cỏc min (khụng nht thit b chn).
nh lý 3 (F. Berteloot). Gi s l mt min trong C
2
v cho
im biờn p
. Gi s rng tn ti dóy {
p
} Aut() v mt
im a sao cho lim
p
(a) = p
. Nu nhn, gi li v cú kiu
hu hn trong lõn cn no ú ca im p
thỡ song chnh hỡnh vi
min
D = {(w, z) C
2
: Re w + H(z, z) < 0},
trong ú H l mt a thc thun nht a iu hũa di trờn C vi bc
2m ((, p
) = 2m).
Cng cn phi nhn mnh rng nhiu k thut ca F. Berteloot rt
khú ỏp dng cho cỏc min khụng b chn trong C
n
vi n 3. Kt qu
chớnh th nht ca lun ỏn (nh lý 1.3.2) ch ra rng nh lý 3 ỳng
cho cỏc min (khụng nht thit b chn) trong C
n
. Ngha l, chỳng tụi
chng minh rng nu min vi biờn nhn, gi li, cú kiu hu hn
trong mt lõn cn no ú ca im t qu o p
v hng ca
dng Levi ớt nht bng n 2 ti p
thỡ song chnh hỡnh vi min dng
12
sau õy:
M
H
= {(w
1
,ããã , w
n
) C
n
: Re w
n
+H(w
1
, w
1
)+|w
2
|
2
+ããã+|w
n1
|
2
< 0},
trong ú H l mt a thc thun nht iu hũa di trờn C.
Kt qu ny l mt m rng thc s cỏc kt qu ca Bedford-Pinchuk
v F. Berteloot. chng minh kt qu trờn, chỳng tụi s dng h ta
c xõy dng bi S. Cho [13] thay cho h ta c xõy dng bi
D. Catlin [11] m F. Berteloot ó s dng chng minh nh lý 3. Bờn
cnh vic s dng nhng ý tng v k thut ca cỏc tỏc gi trc chỳng
tụi cng ó xut nhng ý tng v k thut mi nhm vt qua cỏc
tr ngi khi chuyn t min b chn sang min khụng b chn, t min
trong C
2
lờn min trong C
n
v t vic x lý cỏc a thc mt bin sang
a thc nhiu bin.
Chng II dnh cho vic nghiờn cu bi toỏn phõn loi cỏc min li
tuyn tớnh trong C
n
. i vi cỏc min li trong C
n
, bng cỏch ỏp dng
k thut scaling v cỏch xõy ng a a ca McNeal [28], [29], nm 1997
H. Gaussier [16] ó chng minh kt qu sau õy.
nh lý 4 (H. Gaussier). Gi s l mt min trong C
n
v p
l mt im biờn. Gi s rng p
l im t qu o ca min . Khi
ú, nu biờn l nhn, li trong mt lõn cn ca p
v cú kiu 2m
ti p
thỡ song chnh hỡnh vi min sau õy.
D = {(z
1
, z
) C
n
: Re z
1
+ P (z
) < 0},
trong ú P l mt a thc li khụng suy bin vi bc 2m.
Tớnh khụng suy bin ca P c cho bi iu kin: tp {P = 0} khụng
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét