Xây dựng đường cong chỉnh hình với một tập vô hạn số khuyết .pdf

sử a
i
, số ệt tr C {}. ồ t
ì f tr C tỏ (f, a
i
) =
i
, (f, a) = 0 ọ a / {a
i
}?
ỏ tr ò ợ ết t ợ ủ
ó ề t ọ ứ t ợ ủ ụ
tể qết t
ột số trờ ợ ệt ế ề tr ợ
qết trọ ẹ ở rs tr r trì rs
ỉ ét t ợ ủ số ết ò số ết
rẽ t ề sự tồ t ủ ì ớ ữ
trị ết ợ ứ trọ ẹ
t ết ì ó tể ợ ờ ỉ
ì từ C P
1
(C) ó ệ ở rộ ý tết ổ ể
ờ ỉ ì P
n
(C) ớ n 2 ột ề tự
rt ứ ị ý s ợ ọ ị ý
rt ờ ỉ ì t s
ị ý ờ ỉ ì f : C P
n
(C) H
1
, . . . , H
q

s ở ị trí tổ qt tr P
n
(C) ó
q

j=1
(H
j
, f) n + 1.
tự ớ trờ ợ ì ờ t ũ ứ tí
t ủ số ết ủ ờ ỉ ì ớ n 2 í ụ ề
ờ ỉ ì ớ ữ trị ết ợ r ở ề
t tr ó ệ ự ờ ỉ ì ó trị
ết ễ út ứ r
í ụ ờ ỉ ì ớ ột t trị ết
ụ í í ủ trì ữ ết q ó ủ
ột ó ọ ọ t ố ụ r ủ t tr ờ ột
ỏ tr
ợ t
ế tứ ị ợ trì ớ ụ í
ế tứ tết ể ờ ọ ễ t õ ứ ết q
ủ s r ú t sẽ ột số tí t

ủ ý tết ì
ờ ỉ ì q ệ số ết ì ữ
ế tứ q ứ r t ợ trị a s
số ết ủ ột ì t ể a ế ợ
ờ ỉ ì ớ số trị ết
í ủ r ú t sẽ ự ờ
ỉ ì ó số số ết ợ t
P tứ t ú t r ết q ổ trợ ự
ệ ế ỉ tr số ết trị ết
ờ ỉ ì ột số tí t ễ t t ố
q trọ ì ó ợ sử ụ ề ứ ữ ết q s
ở ữ s
P tứ trì í ụ ề ờ ỉ ì ớ số trị
ết ết q í ủ ị ý ị ý
ợ t ớ sự ớ t tì tú ủ
ị ớ sự ớ ủ t ớ q
s tr ứ t t tỏ ò í trọ
ết s s tớ
tr trọ ọ
P ệ ọ ệt t tr ị ế tứ
t ề ệ t tr tờ ọ t ệt t r P
ợ ử ờ ế ệ ồ ệ ủ
t ở trờ P ế ị ọ ớ
ọ ú ỡ t rt ề tr q trì ọ t
t ũ ử ờ tớ ễ ú ỡ t rt
ề tr q trì ứ
ố ù t ợ tỏ sự ết tớ ì ố ẹ
t ề ệ tốt t t ợ ọ t t

ế tứ ị
r ú t sẽ ột số tí t ủ ý
tết ữ ế tứ q ú ờ
ọ ễ t õ ệ ết q ủ ợ trí từ

ì
sử f ì tr ĩ í R r < R
í ệ n(f, , r), t ứ n(f, , r)), số ự ể tí
ộ t ứ tí ộ ủ f tr ĩ ó í r.
sử a C t ị ĩ
n(f, a, r) = n

1
f a
, , r

,
n(f, a, r) = n

1
f a
, , r

.
ị ĩ ế tí ộ N(f, a, r), t ứ ế
tí ộ N(f, a, r) ủ f t trị a ợ ị ĩ s
N(f, a, r) = n(f, a, 0) log r +

r
0

n(f, a, t) n(f, a, 0)

dt
t
,


t ứ
N(f, a, r) = n(f, a, 0) log r +

r
0

n(f, a, t) n(f, a, 0)

dt
t
).
ì tế ế a = 0 t ó
N(f, 0, r) = (r
+
0
f) log r +

zD(r)
z=0
(r
+
z
f) log |
r
z
|,
tr ó D(r) ĩ ó í r r
+
z
f = max{0, r
z
f} ộ ủ
ể
ị ĩ ỉ m(f, a, r) ủ f t trị a C ợ
ị ĩ s
m(f, a, r) =

2
0
log
+



1
f(re
i
) a



d
2
,

m(f, , r) =

2
0
log
+
| f(re
i
) |
d
2
,
tr ó log
+
x = max{0, log x}.
m(f, , r) ộ ớ tr ì ủ log |f| tr ờ trò |z| = r
ị ĩ tr T (f, a, r) ủ f t trị a C
ợ ị ĩ s
T (f, a, r) = m(f, a, r) + N(f, a, r),
T (f, r) = m(f, , r) + N(f, , r).
ét ề t ó tr ố ớ ý tết
ì ó trò t tự ủ tứ tr ý tết tứ ừ ị
ĩ tr t ó
T (f, a, r) N(f, a, r) + O(1),
tr ó O(1) ột ợ ị r

ị ĩ ủ ì f ợ ị ĩ ở tứ
(f) = lim sup
r
log T (r, f)
log r
.
ế (f) = tì f ợ ọ ó ế 0 < (f) < tì f
ợ ọ ó ữ
sử 0 < (f) < t
C = lim sup
r
T (r, f)
r

.
ó f ó tố ế C = ó tr ì ế 0 < C < ,
ó tố tể ế C = 0.
í ụ ế f ữ tỷ tì T (f, r) = O(log r), ó ữ tỷ
ó ế f = e
z
tì T (f, r) = r/ + O(1) ó e
z
ó
tr ì e
e
z
ó
tứ Pss s
ị ý sử f(z) 0, ột ì tr ì trò
D = {|z| R} ớ 0 < R < sử a
à
, à = 1, , M ể
ủ f tr D, ỗ ể ợ ể ột số ộ ủ ó
b

, ( = 1, 2, , N) ự ể ủ f tr tr D, ỗ ự ể ợ
ể ột số ộ ủ ó
ó ớ ỗ z = re
i
D s f(z) = 0, f(z) = t ó
log |f(z)| =
1
2
2

0
log


f(Re
i
)


R
2
r
2
R
2
2Rr cos( ) + r
2
d+
+
M

à=1
log




R(z a
à
)
R
2
a
à
z





N

=1
log




R(z b

)
R
2
b

z




.

ứ ét trờ ợ s
rờ ợ f(z) ó ể ự ể tr
{|z| R} z = 0
ó t ứ
log |f(0)| =
1
2
2

0
log


f(Re
i
)


d.
f(z) = 0 tr D log f(z) ỉ ì tr D. ị
ý t ó
log f(0) =
1
2i

|z|=R
log f(z)
dz
z
=
1
2
2

0
log f(Re
i
)d.
tự ế t ó
log |f(0)| =
1
2
2

0
log


f(Re
i
)


d.
rờ ợ f(z) ó ể ự ể tr
{|z| R} ớ z tỳ ý z = re
i
(0 < r < R)
ét
{|| R} { 1}
z 0
= z =
R ( z)
R
2
z
|| = R t ứ ớ || = 1 ì
|| =
R | z|
|R
2
z|

|| = R = ||
2
= R
2
s r
|| =
R | z|


z


=
R | z|
||


z


= 1.
log f(z) ỉ ì tr || R t ị ý t ó
log f(z) =
1
2i

||=R
log f()
d
z
.
t
1
2i

||=R
log f()
zd
R
2
z
=
1
2i

||=R
log f()
d

R
2
z
= 0.
|z| = |z| < R




R
2
z




> R ĩ ể
R
2
z
|| R
log f()
1

R
2
z
ỉ ì ết ợ ớ t ó
log f(z) =
1
2i

||=R
log f()

1
z
+
1

R
2
z

d
=
1
2i

||=R
log f()

1
z
+
z
R
2
z

d,
ớ
1
z
+
z
R
2
z
=
R
2
z + z zz
( z) (R
2
z)
=
R
2
r
2
( z)

z

=
R
2
r
2
| z|
2
.

t
= Re
i
= R cos + iR sin ,
z = re
i
= r cos + ir sin ,
z = (R cos r cos ) + i (R sin r sin ) ,
| z|
2
= (R cos r cos )
2
+ (R sin r sin )
2
= R
2
+ r
2
2Rr cos( ).

log f(z) =
1
2
2

0
log f(Re
i
)
R
2
r
2
R
2
2Rr cos( ) + r
2
d.
tự ế ủ t ợ
log |f(z)| =
1
2
2

0
log


f(Re
i
)


R
2
r
2
R
2
2Rr cos( ) + r
2
d.
rờ ợ f(z) ó ể ự ể tr {|z| = R}
ó ể ự ể ở tr ề {|z| < R}
ó số ể ự ể ủ f(z) tr {|z| = R}
ữ t sử f(z) ó ể {z
k
} , ó {|| = R}
t ó

z
k
j

ộ tụ ế z
k
0
{|| = R} f(z
k
j
) = 0, ó f = 0
tr ột t ợ ó ể ớ ề é t f 0 s r ý
sử ó ể {z
k
} , ó tồ t

z
k
j

z
0

{|| = R}, z
0
ể t tờ ì f ì z
0
ự
ể ĩ tr ột ủ z
0
f ỉ ì ỉ trừ t z
0
s
r ý ì

z
k
j

z
0
tr ọ ủ z
0
ề ứ z
k
j
ó
t ó f ó ự ể

f(z) ó ữ ể ự ể tr {|z| = R} .
sử Z
0
ể ự ể k ủ f(), Z
0
D. r ột
ó ủ Z
0
, t ó trể s
f() = a( Z
0
)
k
+ . . . , a = 0.
ó
log |f()| = k log | Z
0
| + o(| Z
0
|).
ét ò trò C

t Z
0
í ủ ỏ ò trò || = R ở
ò trò C

, ó f ó ể ự ể tr ủ ề
ớ ợ
trờ ợ t ó tí ủ ớ ỉ tí
ở tr ò trò || = R ột ợ

C

1
2

|Z
0
|=
log |f()| |d| .
ó

|Z
0
|=
log |f()| |d| = C

. log ..
ó

C

1
2

|Z
0
|=
log |f()| |d| A log ..
0 t ó

C

1
2

|Z
0
|=
log |f()| |d| 0. tứ ợ ứ

rờ ợ ờ t ét tr trờ ợ f(z) ó ể
ự ể tr |z| R.
ét
(z) = f(z)

N
=1
R(zb

)
R
2
b

z

M
à=1
R(za
à
)
R
2
a
à
z
.

ó (z) s r ó ể ự ể ở tr || R ì
sử ợ (z
0
) = 0 s r f(z
0
) = 0. ó () ị ử số
tự () ũ ó ự ể
ụ tứ ứ t ó
log |(z)| =
1
2
2

0
log


(Re
i
)


R
2
r
2
R
2
2Rr cos( ) + r
2
d.

log |f(z)| +
N

=1
log




R(z b

)
R
2
b

z





M

à=1
log




R(z a
à
)
R
2
a
à
z




=
1
2
2

0
log


(Re
i
)


R
2
r
2
R
2
2Rr cos( ) + r
2
d.
|z| = R tì



R(zb

)
R
2
b

z



= 1,



R(za
à
)
R
2
a
à
z



= 1.
r ế |z| = R tì |(z)| = |f(z)| .
ó
log |f(z)| +
N

=1
log




R(z b

)
R
2
b

z





M

à=1
log




R(z a
à
)
R
2
a
à
z




=
1
2
2

0
log


f(Re
i
)


R
2
r
2
R
2
2Rr cos( ) + r
2
d.

log |f(z)| =
1
2

2
0
log


f(Re
i
)


R
2
r
2
R
2
2Rr cos( ) + r
2
d
+
M

à=1
log




R(z a
à
)
R
2
a
à
z





N

=1
log




R(z b

)
R
2
b

z




.

Xem chi tiết: Xây dựng đường cong chỉnh hình với một tập vô hạn số khuyết .pdf